La nuez y la mar

Cosechas y siembras es un texto autobiográfico del matemático Alexander Grothendieck. En él encontramos entremezcladas referencias técnicas a su trabajo, con reflexiones filosóficas que dejan entrever la comprensión que tenía del campo matemático. La imagen más hermosa que nos ha legado es la de la nuez y la mar. La nuez representa los problemas matemáticos. Hay quienes dedican su vida a resolverlos y para ello utilizan todo tipo de técnicas. El objetivo consiste siempre en romper la nuez rápidamente. Ir al grano, diríamos, por medio de pruebas dirigidas a dirimir conjeturas y ofrecer apoyo o refutación de teoremas. Pero hay otros, dice Grothendieck, que sumergen la nuez en el mar y esperan a que la cáscara se disuelva. Tome el tiempo que tome.

¿Qué es un problema? La línea que conecta dos puntos que deben ser unidos en un terreno no trivial. No hay, pues, modo inmediato ni evidente de hacerlo. Es preciso intervenir creativamente en el campo para superar una obstrucción que impide el encuentro. No es posible saber a priori si los problemas tienen solución. Muy tempranamente Turing (junto con otros tantos) trabajó en el problema de la automatización y descubrió que no era posible una máquina que decidiera cuándo parar intentando resolver un problema matemático. Se mostraban ahí los límites de la computabilidad. Un problema está inscrito en un marco conceptual donde los axiomas están dados. Es decir, un problema surge una vez que se han aceptado ciertas premisas. Alguien nos pregunta: ¿en incendio a quién salvarías, a una persona o el último ejemplar del Quijote? El problema surge de una pregunta. El preguntar sienta las reglas para un pensamiento. Pero podríamos responder, a ninguno. No aceptar la pregunta. Al no aceptar la pregunta, no se acepta el problema. No hay disyunción. Se preguntó antiguamente: ¿cuál es el camino más corto entre dos puntos? Se respondió: “la línea recta”. Pero la pregunta, surgida de un espacio homogéneo, sin curvatura, había dado ya la respuesta. No se podía responder sino con la recta, porque el espacio era “recto”.

Grothendieck habría dirigido la mirada al mar. ¿Qué es el mar? El espacio. Dada una pregunta surgía un problema y dado ese problema, la respuesta era directa. Hay problemas que, sin duda, poseen mayores grados de libertad y requieren de gran creatividad para ser resueltos. Pero mirar al mirar significó mirar al espacio en el cual nadaba la geometría y sus figuras. Los matemáticos Gauss y Riemann eran navegantes. Hicieron aparecer el espacio que parecía tan natural para nosotros. Hicieron que el pez se diese cuenta de que vivía en el agua. ¿Cómo puede lograrse eso? Es decir, ¿cómo puede pensarse no tal o cual cosa ni siquiera las relaciones entre las cosas, sino el espacio en el que esas cosas y esas relaciones se despliegan? Técnicamente había que probar, en geometría, la independencia del postulado de las paralelas y el resto de los postulados. Había que hacer variar uno y probar que el resto permanecía. Sin tecnicismos: había que experimentar con el espacio como si él fuera algo y no como un contenedor vacío donde están las cosas. Algo raro, porque en sentido estricto no es una cosa, no es nada. Pero todo sucede en un espacio (en el sentido más amplio del término como una estructura). Y ese espacio sin poseer una figura tiene, pese a todo, una “forma”. Espacios planos, espacios esféricos, espacios hiperbólicos.

La pregunta por la recta se formuló de manera un poco más elegante y se respondió con el postulado de las paralelas. La pregunta era, dada una línea l y un punto p, exterior a la línea l, ¿cuántas líneas paralelas a l existen, que crucen el punto p? La respuesta era: sólo una. Pero al jugar con el espacio, al variar los axiomas, específicamente, a suprimir uno (no inventándose nuevos o exóticos axiomas), la respuesta no era ya obvia. En un espacio la respuesta seguía siendo: sólo una línea. Pero en otros espacios valía la respuesta: todas las líneas son paralelas y, en otro, ninguna. La pregunta, que daba por sentado un único espacio, y que realmente planteaba un problema muy concreto, se transformó en una duda sobre la naturaleza del espacio matemático. Entonces se inventó el mar. Un mar de espacios que hacía que la pregunta recibiera diferentes respuestas dependiendo del espacio donde se planteara.

Pero la cosa no se detuvo ahí, porque ese mundo de la geometría ampliada apenas estaba despegando. Se estaba descubriendo no un mar, sino un gran océano llenos de mares pequeños. Más adelante, la topología habría de suprimir la rigidez y la medida de los seres espaciales. Es decir, en ella no hay magnitud y los objetos son flexibles. Imaginemos una liga cualquiera. Ella es siempre topológicamente la misma. Supongamos que su forma “normal” es la de un círculo. Si la jalamos y hacemos ese círculo del doble de tamaño no le pasa nada a la estructura de la liga. Sigue siendo redonda y con un agujero en medio. Ahora démosle otra forma no circular, como un cuadrado. Sigue siendo la misma liga y sigue teniendo la misma estructura: una cuerda cerrada bidimensional, es decir, con un agujero y en R2. La liga la podemos enrollar, la podemos torcer, la podemos estirar, le podemos dar la forma que queramos y será siempre topológicamente la misma.

En un espacio topológico, sin figura ni medida: ¿qué sería una línea? Solamente un trayecto entre dos puntos. Pero sin figura ni medida. Por ello, dos líneas podrían moverse libremente, de modo que la pregunta por las paralelas pierde sentido. Aquí no sucede que un problema tenga una solución (o incluso más) dentro de un espacio, ni tampoco que las soluciones dependan del espacio en el que se plantee el problema. Aquí el espacio disuelve un problema, lo vuelve inoperante, incluso irrelevante al hacerlo un asunto local, regional. Las paralelas no son problema en absoluto en topología. El nogal es el preguntar. La nuez corresponde al problema. El mar los disuelve a ambos.

Muchos problemas humanos se plantean en términos de paradojas. Las paradojas son, en cierto sentido, la “verdad” de los bordes de todo sistema. Dicho de otro modo. Todo preguntar es trivial si no llega a los límites. La filosofía, me gusta insistir, inquiere sobre los límites (los bordes, las fronteras, las definiciones, las distinciones, las diferencias), lleva sus conceptos al límite (por ejemplo, si se plantea el problema de un “antecedente”, la filosofía pregunta por el primerísimo término de la serie) y se mueve siempre en el límite (entre ella y la matemática, ella y la poesía, ella y la ciencia). Pero en pensamiento de los límites y en los límites conduce a paradojas, muchas de ellas lacerantes, callejones sin salida. Hay paradojas productivas, sin duda, y otras que paralizan. Cuando intentamos salir de una situación de esta naturaleza solemos introducir un nuevo límite interno, una regla que impida la circularidad de los argumentos. Por ejemplo, que un conjunto no pueda, por una regla ad hoc, ser miembro de sí mismo. Otro camino es la inoperancia. Disolver las paradojas al introducirlas en un océano más vasto. Lo cierto es que dicho océano puede convertirse rápidamente en un desierto, en un horizonte mínimo y sutil.

Ya no intentamos abarcarlo todo con la mirada. Pero tampoco nos satisface una mirada que se sabe parcial, arbitraria. La genericidad a la que aspiramos puede signarse con el cuantificador universal: ∀ (para todos, todas, tutti), proposición para la cual el latín reservaba la letra A, de “affirmo”, la afirmación más potente, que no opera sino al ser con-firmada, con-validada por y con otros. Pero ahí mismo, donde se afirma algo, también se avanza un espacio más amplio donde las oposiciones y los callejones sin salida se vuelven inoperantes se disuelven como la nuez en el mar de Gorthendieck.